Una pregunta confusa de probabilidad: bolas rojas y verdes en una urna
Un rompecabezas de probabilidad sobre sacar bolas rojas y verdes de una urna muestra lo contraintuitivo que puede ser el razonamiento bayesiano. Cuando el número de bolas rojas se elige al azar de forma uniforme y la primera extracción es roja, mucha gente espera que la siguiente favorezca al verde porque ya se ha retirado una roja, pero el resultado correcto es que en realidad es más probable sacar roja (2/3) una vez que se tiene en cuenta cómo esa primera roja actualiza la distribución de posibles composiciones de la urna. Los comentaristas exploran por qué las simulaciones suelen salir mal, cómo distintas distribuciones previas (uniforme frente a binomial o normal) cambian la respuesta, y cómo una redacción ambigua como “más probable” contribuye a la confusión generalizada, de forma parecida al problema de Monty Hall y a la paradoja de “niño o niña”.
Problema central y resultado principal
- Una urna tiene 100 bolas; se elige uniformemente un número desconocido n de bolas rojas de entre 0 y 100. Sacas una bola y es roja. La pregunta: ¿es más probable que la siguiente extracción sea roja, verde o igual?
- El consenso entre quienes lo trabajaron: la siguiente bola es más probable que sea roja, con probabilidad 2/3 (independiente del número total de bolas, siempre que sea ≥2).
- Intuición: ver rojo primero hace más probable que hayas empezado con una urna “cargada hacia el rojo” en lugar de una “escasa de rojo”, y ese efecto domina el hecho de que hayas retirado una roja.
Perspectivas bayesianas / de configuraciones
- Muchas explicaciones lo plantean así: inicialmente cada n es igual de probable; después de ver una roja, el peso posterior se desplaza hacia n mayores.
- Fórmula explícita: la posterior P(n | primera roja) ∝ n, lo que produce una distribución muy sesgada hacia urnas con más rojas.
- Varios mensajes cuentan “mundos” o configuraciones (sobre n y posiciones de extracción) y muestran que, condicionado a una primera roja, las secuencias roja-roja ocurren el doble de veces que roja-verde.
Lenguaje y ambigüedad
- Hubo un debate importante sobre la redacción: “más probable” podría significar:
- más probable roja que verde en la segunda extracción, o
- más probable que la segunda extracción sea roja que lo que la primera lo fue.
- Algunos sostienen que la formulación de la encuesta invita a malinterpretarlo; otros dicen que la lectura pretendida es clara: “¿Qué color es más probable a continuación?”
Priors y distribuciones alternativas
- Punto clave: el prior uniforme sobre n es lo que impulsa el resultado contraintuitivo.
- Si las bolas se colorearan independientemente con una moneda justa (prior binomial), observar una roja no aporta información sobre la siguiente extracción; la probabilidad sigue siendo 1/2.
- Con un prior parecido a una normal concentrada cerca de 50–50, la actualización por una sola roja es pequeña; el resultado queda cerca de 1/2, en línea con el “sentido común”.
Simulaciones y errores comunes
- Varios comentaristas usan simulaciones Monte Carlo; algunos implementaron al principio por error una urna binomial, obtuvieron ~50/50 y luego corrigieron.
- Otros muestran cómo manejar mal casos imposibles (por ejemplo, n=0 después de sacar una roja) o el conteo de ensayos puede sesgar silenciosamente las probabilidades simuladas.
Problemas relacionados y pedagogía
- Seguimiento: sacar 99 rojas seguidas implica que la última bola es abrumadoramente probable que sea roja, no 50/50, ya que la urna “todo rojo” explica mucho mejor los datos que “una verde”.
- Se hacen comparaciones con Monty Hall y las paradojas de “niño/niña”: pequeñas piezas de información, condicionadas correctamente, pueden cambiar drásticamente las probabilidades.
- Varios ven la pregunta como una herramienta útil de entrevista o enseñanza para revelar intuiciones, estilo de razonamiento y comprensión de la condicionalidad.