我希望在教微分方程之前就学到的经验教训 [pdf] (1997)
许多评论者认为，本科微分方程和微积分被教成了干巴巴的“技巧包”，过度强调严谨和过时课程，遮蔽了直觉、应用以及数学背后的历史动机。也有人反驳说，某种程度的抽象和证明对于真正理解数学是必要的，而主要瓶颈在于学生准备不足、制度惯性和时间限制，而不是恶意或把关。跨越物理、工程到计算机科学等领域，参与者呼吁改进教学法、开放且可迭代改进的教材、更多数值与可视化工具的使用，并最终借助 AI 驱动的个性化教学，弥合形式理论与现实问题求解之间的鸿沟。
无穷小与微积分/常微分方程基础
- 讨论非标准分析作为一种严格使用无穷小的方法；有些人认为它在概念上很有吸引力，也更适合计算，但另一些人指出它缺乏循序渐进、逐步展开的教学示例。
- 一位评论者用一个无穷小 “e” 和标准部算子推导 sin(x) 的导数，随后遇到如何证明诸如 sin(e) ≈ e、cos(e) ≈ 1 − e² 之类近似的问题。
- 经典非标准分析、直觉主义基础，以及综合微分几何和光滑无穷小分析等替代框架之间存在张力。
- 无穷小也与自动微分等现代工具相关联。
教学法、把关与教材
- 许多人把微分方程和物理教学描述为一种仪式化的“磨砺”或智商筛选：晦涩的教材和课程不是在教学生，而是在淘汰学生。
- 也有人，包括在职学者，否认存在故意把关，认为困难源于学科本身的难度、学生准备不足以及时间有限。
- 大家强烈希望改进教学法：更多概念框架（例如微分方程为什么重要）、更好的例子，以及明确聚焦于常系数线性系统，而不是零散技巧。
- 关于视频与文本的争论：视频（例如流行数学频道）能提供强大的直觉，但通常不足以解决教材级问题；许多人认为它们应与书籍和习题集互补。
- 有人呼吁采用开放许可教材并通过迭代不断改进，但也提出了实际问题：治理、署名、许可、避免低质量分支以及维持非营利使用。
严谨性、直觉与应用
- 持续存在的张力：有人认为严格证明是数学的核心，必须尽早教授；也有人说，大多数非数学专业人士更需要直觉、建模能力和数值方法，而不是 epsilon-delta 证明。
- 物理和工程课程常因对数学含糊其辞而受到批评（例如微分、波函数），而数学课程则因忽视物理动机而受到批评。
- 分享了若干轶事：学生往往只有在接触到具体的物理或计算示例时，才终于“真正懂得”微积分、傅里叶分析或微分方程（例如力学、电路、音频、数值模拟）。
微分方程在当下的范围与角色
- 许多现实世界中的常微分方程/偏微分方程只能通过数值方法求解；解析方法被描述为一种有限的“技巧袋”，再加上支撑数值方法的理论。
- 有人认为偏重技巧的入门课程是可以接受的，因为它覆盖面更广；另一些人则坚持课程应聚焦少数几个学生能记住的深层思想（例如指数行为、稳定性、相平面、拉普拉斯变换）。
- 分享的例子包括：用于阻尼振子的简洁代码，以及建议从数值和定性视角开始的微分方程课程。