《Euler 是如何做到的》，作者 Ed Sandifer

Euler 的 π 公式与 BBP 型结果

• 一位读者将一篇 Euler 的论文（1779 年）与现代用于 π 的 BBP 型公式联系起来，这类公式允许在不需要先前各位数字的情况下，计算任意二进制/十六进制位。
• 过去人们通常认为这类公式始于 20 世纪 90 年代的工作；该评论者写过一篇论文，论证 Euler 其实更早就已经有了它们。
• 其他人补充历史背景：某些基于反正切的公式以及其中涉及的级数变换，早已为其他数学家所知，但 Euler 的方法与现代 BBP 证明高度平行。

Euler 产出的规模与性质

• 多条评论强调了 Euler 惊人的生产力：成千上万页的著作、书信和手稿，占据了 18 世纪科学产出的很大一部分。
• 《Opera Omnia》这一全集项目已经历时一个多世纪，说明仍有大量成果尚未被充分认识。
• 轶事强调，在几乎完全失明后，借助抄写员的帮助，他的产出反而增加了；据说他还开玩笑说，失去视力减少了干扰。

数学风格与直觉

• 评论者欣赏他在严格分析出现之前，对无穷与无穷小的直觉性处理，比如在 Basel 问题中把三角函数分解为无穷乘积。
• 他的做法被描述得几乎像“魔法”，但通常都是正确的。

教育、天赋与培养“神童”

• 讨论分支到对现代教育的批评：它并不适合极端天赋，更关注一致性和打勾式完成任务，而不是深入探索。
• 有人认为有天赋的学生会自我教育；也有人反驳说，若缺乏支持或启发，许多潜在天才会被浪费。
• 竞争性的数学/物理体系（如奥林匹克竞赛）被正面提及。
• 讨论还涉及 AI/LLM 作为导师：支持者期待个性化节奏、即时反馈和游戏化；怀疑者则警告，可能只是“算数”而非真正理解，并且会产生幻觉。

现代对应者与“低垂果实”

• 讨论提出：为什么今天似乎没有与 Euler 同样广博的人物？
• 一种观点是：如今数学规模太大，单个人无法“无所不知”；现代工作更专业化、协作化。
• 另一种观点质疑“低垂果实”的叙事，认为这在历史上并不成立，早期突破依赖长期的文化积累。
• 文中提到若干过去和当代的数学家与科学家作为部分类比，但共识是 Euler 仍然是独一无二地高产。

国籍与资助关系

• 讨论争论应把 Euler 主要看作瑞士人还是俄罗斯人：他出生于瑞士，在俄罗斯（以及其他地方）的资助下工作了很长时间，并最终死于圣彼得堡。
• 有人认为出生地和早年形成更重要；也有人强调他工作的地方和资助来源，最后认为他的身份是混合的，这些标签多少有些任意。

Euler 作为教育者与写作者

• 评论者称赞他的教科书，尤其是早期、易于理解的微积分和代数教材，它们帮助新思想传播到欧洲各地。
• 他的讲解，包括在基础语境中对无穷小的非正式使用，被描述得俏皮、直观且异常清晰。

杂项

• 旁注包括 Euler 在音乐理论中的角色（例如像 tonnetz 这样的结构），以及对链接网站 TLS 证书过时/较弱所致的浏览器和企业防火墙警告的简短技术插曲。