《数学原理》是现代且富有洞见的
Bertrand Russell 和 Alfred North Whitehead 的 *Principia Mathematica* 在这里被重新讨论为数学逻辑中的一座基础性里程碑，同时也是一件几乎无法阅读的历史文物，其古老记号和庞大体量限制了它在现代的可用性。评论者将它的历史影响与后来的发展——如哥德尔的不完备性定理、ZFC 和同伦类型论等替代基础，以及更易接近的作品（从 *Gödel, Escher, Bach* 到 *Logicomix* 这类漫画）——进行比较。一个反复出现的主题是：如今应如何学习高阶逻辑与基础理论——通过原始文献、现代重述，还是通过更注重教学的文本与证明辅助器。
《数学原理》的可访问性与难度
- 普遍被认为极难从头到尾读完；古老的记号和庞大的篇幅是主要障碍。
- 有人认为，原则上高年级本科生可以处理这些内容，但大多数人怀疑任何本科课程会现实地要求把全书完整学完。
- 也有人认为，如今阅读它更多是一项历史研究，而不是学习逻辑的高效方式。
哥德尔、不完备性与 PM 中的“错误”
- 一种观点认为，这个项目的核心存在一个“巨大的逻辑错误”，而不完备性揭示了这一点。
- 反观点则认为，不完备性定理表明的是任何足够强的形式系统都存在局限，而不是 PM 中某个特定的逻辑错误。
- 另一个要点是：PM 本身就需要额外的逻辑公理，并且其内部局限性早已为人所知；哥德尔的工作正是在这一背景上展开的。
相关书籍与入门路径
- 推荐更平缓的入门：Russell 的 Introduction to Mathematical Philosophy、图像小说 Logicomix，以及对不完备性的通俗阐述。
- 若干评论讨论了 Gödel, Escher, Bach：它被描述为鼓舞人心、平易近人且“氛围优质”，但也有人觉得它已经过时，尤其是其中关于 AI 的推测。
- 其他建议资源：解释奠基性论文的著作（例如关于 Newton、Maxwell、Einstein、Turing 的论文），适合“受过教育的普通读者”。
关于读经典与读现代文本的争论
- 有人对声称自己已深入“读过”诸如 PM、Euclid、Newton、Bourbaki 等大部头经典表示强烈怀疑；重点在于原始文本本身有多么难读。
- 据称一些机构会直接从原典教学（例如 Euclid、Newton），而另一些人认为这在哲学上很有趣，但与现代阐释相比在教学上值得商榷。
类型论、HoTT 与编程
- 有人建议跳过 PM，直接进入同伦类型论、依赖类型和高阶归纳类型，因为这些对函数式编程更有成效，也更相关。
- 讨论了 univalence：区分相等与等价；把等价作为第二种、更灵活的“相同”概念来使用。
- 关于基础的争论：ZFC 被描述为大多数在做研究的数学家的事实基础，但像 HoTT 这样的替代基础被视为具有不同优势的严肃竞争者。
历史、技术与杂项笔记
- PM 影响了早期自动推理；一个早期 AI 程序证明了其中许多定理，甚至缩短了一个证明。
- 评论指出 PM 的记号很不寻常（例如用点来表示优先级而不是括号），并提到数学排版在历史上的整体困难，最终催生了 TeX 之类的系统。